Inverse trigonometric functions reverse the usual ratios, allowing you to find angles when given a ratio. They include functions like arcsin, arccos, and arctan, which map values from the ratio back to an angle in specific ranges. Think of them as the GPS that gets you back to the angle when you’ve wandered too far into sine, cosine, or tangent territory!
Get Homework Help
1. Domain, Range & Graph of Inverse Trignometric Functions: (#toc1)
(a) f − 1 : [ − 1 , 1 ] → [ − π 2 , π 2 ] , {f}^{-1}:[-1, 1] \to [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}], f − 1 : [ − 1 , 1 ] → [ − 2 π , 2 π ] , f − 1 ( x ) = s i n − 1 ( x ) \space \space \space \space {f}^{-1}{(x)} = sin^{-1}(x) f − 1 ( x ) = s i n − 1 ( x )
(b) f − 1 : [ − 1 , 1 ] → [ 0 , π ] , {f}^{-1}:[-1, 1] \to [0, \pi], f − 1 : [ − 1 , 1 ] → [ 0 , π ] , f − 1 ( x ) = c o s − 1 x \space \space \space \space {f}^{-1}(x) = cos^{-1}x f − 1 ( x ) = co s − 1 x
(c) f − 1 : R → ( − π 2 , π 2 ) , {f}^{-1}:R \to (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}), f − 1 : R → ( − 2 π , 2 π ) , f − 1 ( x ) = t a n − 1 x \space \space \space \space {f}^{-1}(x) = tan^{-1}x f − 1 ( x ) = t a n − 1 x
(d) f − 1 : R → ( 0 , π ) , {f}^{-1}:R \to (0, \pi), f − 1 : R → ( 0 , π ) , f − 1 ( x ) = c o t − 1 x \space \space \space \space {f}^{-1}(x) = cot^{-1}x f − 1 ( x ) = co t − 1 x
(e) f − 1 : ( − ∞ , − 1 ] ∪ [ 1 , − ∞ ) {f}^{-1}:(-\infin, -1] \cup [1, -\infin) f − 1 : ( − ∞ , − 1 ] ∪ [ 1 , − ∞ ) → [ 0 , π 2 ) ∪ ( π 2 , π ] , \space \space \space \space \to [0,\frac{\pi}{2}) \cup (\frac{\pi} {2},\pi], → [ 0 , 2 π ) ∪ ( 2 π , π ] , f − 1 ( x ) = s e c − 1 x \space \space \space \space {f}^{-1}(x) = sec^{-1}x f − 1 ( x ) = se c − 1 x
(f) f − 1 : ( − ∞ , 1 ] ∪ [ 1 , − ∞ ) {f}^{-1}:(-\infin, 1] \cup [1, -\infin) f − 1 : ( − ∞ , 1 ] ∪ [ 1 , − ∞ ) → [ − π 2 , 0 ) ∪ ( 0 , π 2 ] , \space \space \space \space \to [-\frac{\pi}{2}, 0) \cup (0, \frac{\pi}{2}], → [ − 2 π , 0 ) ∪ ( 0 , 2 π ] , f − 1 ( x ) = c o s e c − 1 x \space \space \space \space {f}^{-1}{(x)} = cosec^{-1}x f − 1 ( x ) = cose c − 1 x
2. Properties of Inverse Circular Functions: (#toc2)
(a)
(i) y = s i n ( s i n − 1 x ) = x , x ∈ [ − 1 , 1 ] , y ∈ [ − 1 , 1 ] , y = sin(sin^{-1}x) = x, x \in [-1,1], y \in [-1,1], y = s in ( s i n − 1 x ) = x , x ∈ [ − 1 , 1 ] , y ∈ [ − 1 , 1 ] ,
(ii) y = c o s ( c o s − 1 x ) = x , x ∈ [ − 1 , 1 ] , y ∈ [ − 1 , 1 ] , y = cos(cos^{-1}x) = x, x \in [-1,1], y \in [-1,1], y = cos ( co s − 1 x ) = x , x ∈ [ − 1 , 1 ] , y ∈ [ − 1 , 1 ] ,
(iii) y = t a n ( t a n – 1 x ) = x , x ∈ R , y ∈ R , y = tan(tan^{–1}x) = x, \ x \in R, y \in R, y = t an ( t a n –1 x ) = x , x ∈ R , y ∈ R ,
(iv) y = c o t ( c o t − 1 x ) = x , x ∈ R , y ∈ R , y = cot(cot^{-1}x) = x, x \in R, y \in R, y = co t ( co t − 1 x ) = x , x ∈ R , y ∈ R ,
(v) y = c o s e c ( c o s e c − 1 x ) = x , ∣ x ∣ ≥ 1 , ∣ y ∣ ≥ 1 , y = cosec(cosec^{-1}x) = x, |x| \geq 1, |y| \geq 1, y = cosec ( cose c − 1 x ) = x , ∣ x ∣ ≥ 1 , ∣ y ∣ ≥ 1 ,
(vi) y = s e c ( s e c − 1 x ) = x , ∣ x ∣ ≥ 1 ; ∣ y ∣ ≥ 1 , y = sec(sec^{-1}x) = x, |x| \geq 1; |y| \geq 1, y = sec ( se c − 1 x ) = x , ∣ x ∣ ≥ 1 ; ∣ y ∣ ≥ 1 ,
(b)
(i) y = s i n − 1 ( s i n x ) , x ∈ R , y ∈ [ − π 2 , π 2 ] . y = sin^{-1} (sin \ x), x \in R, y \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]. y = s i n − 1 ( s in x ) , x ∈ R , y ∈ [ − 2 π , 2 π ] . 2 π . 2\pi. 2 π .
s i n − 1 ( s i n x ) = { − π − x , − 3 π 2 ≤ x ≤ − π 2 x , − π 2 ≤ x ≤ π 2 π − x , π 2 ≤ x ≤ 3 π 2 x − 2 π , 3 π 2 ≤ x ≤ 5 π 2 3 π − x , 5 π 2 ≤ x ≤ 7 π 2 x − 4 π , 7 π 2 ≤ x ≤ 9 π 2 \space \space \space \space sin^{-1} (sin \ x) =
\begin{cases}
-\pi-x \space \space \space \space, \space -\frac{3\pi}{2} \leq x \leq -\frac{\pi}{2} \\
\space \space \space \space x \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space, \space \space -\frac{\pi}{2} \leq x \leq \frac{\pi}{2} \\
\space \pi-x \space \space \space \space \space \space, \space \space \space \frac{\pi}{2} \leq x \leq \frac{3\pi}{2} \\
x-2\pi \space \space \space \space \space, \space \space \frac{3\pi}{2} \leq x \leq \frac{5\pi}{2} \\
3\pi-x \space \space \space \space \space , \space \space \frac{5\pi}{2} \leq x \leq \frac{7\pi}{2} \\
x-4\pi \space \space \space \space \space, \space \space \frac{7\pi}{2} \leq x \leq \frac{9\pi}{2} &\text\\
\end{cases} s i n − 1 ( s in x ) = ⎩ ⎨ ⎧ − π − x , − 2 3 π ≤ x ≤ − 2 π x , − 2 π ≤ x ≤ 2 π π − x , 2 π ≤ x ≤ 2 3 π x − 2 π , 2 3 π ≤ x ≤ 2 5 π 3 π − x , 2 5 π ≤ x ≤ 2 7 π x − 4 π , 2 7 π ≤ x ≤ 2 9 π
(ii) y = c o s − 1 ( c o s x ) , x ∈ R , y ∈ [ 0 , π ] , y = cos^{-1} (cos \ x), x \in R, y \in [0,\pi], y = co s − 1 ( cos x ) , x ∈ R , y ∈ [ 0 , π ] , 2 π 2\pi 2 π
c o s − 1 ( c o s x ) = { − x , − π ≤ x ≤ 0 x , 0 ≤ x ≤ π 2 π − x , π ≤ x ≤ 2 π x − 2 π , 2 π ≤ x ≤ 3 π 4 π − x , 3 π ≤ x ≤ 4 π \space \space \space \space \space cos^{-1} (cos \ x) =
\begin{cases}
-x \space \space \space \space \space \space \space \space \space, \space -\pi \leq x \leq 0 \\
\space \space \space x \space \space \space \space \space \space \space \space \space, \space \space \space 0 \leq x \leq \pi \\
2\pi-x \space \space \space, \space \space \space \pi \leq x \leq 2\pi \\
x-2\pi \space \space \space, \space \space 2\pi \leq x \leq 3\pi \\
4\pi-x \space \space \space , \space \space 3\pi \leq x \leq 4\pi &\text\\ \end{cases} co s − 1 ( cos x ) = ⎩ ⎨ ⎧ − x , − π ≤ x ≤ 0 x , 0 ≤ x ≤ π 2 π − x , π ≤ x ≤ 2 π x − 2 π , 2 π ≤ x ≤ 3 π 4 π − x , 3 π ≤ x ≤ 4 π
(iii) y = t a n − 1 ( t a n x ) y = tan^{-1} (tan \ x) y = t a n − 1 ( t an x ) x ∈ R − { ( 2 n − 1 ) π 2 , n ∈ I } ; y ∈ ⟮ − π 2 , π 2 ⟯ \space \space \space \space \space \space x \in R - \bigg \{(2n-1) \frac{\pi}{2}, n \in \Iota \bigg \}; y \in \bigg \lgroup -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \bigg \rgroup x ∈ R − { ( 2 n − 1 ) 2 π , n ∈ I } ; y ∈ ⎩ ⎧ − 2 π , 2 π ⎭ ⎫ π \pi π
t a n − 1 ( t a n x ) = { x + π , − 3 π 2 < x < − π 2 x , − π 2 < x < π 2 x − π , π 2 < x < 3 π 2 x − 2 π , 3 π 2 < x < 5 π 2 x − 3 π , 5 π 2 < x < 7 π 2 \space \space \space \space \space \space \space tan^{-1} (tan \ x) =
\begin{cases}
x+\pi \space \space \space,
-\frac{3\pi}{2} < x < -\frac{\pi}{2} \\
\space \space \space x \space \space \space \space \space \space \space,
\space \space -\frac{\pi}{2} < x< \frac{\pi}{2} \\
x - \pi \space \space \space, \space \space \space \frac{\pi}{2} < x < \frac{3\pi}{2} \\
x - 2\pi \space, \space \space \frac{3\pi}{2} < x < \frac{5\pi}{2} \\
x -3\pi \space, \space \space \frac{5\pi}{2} < x < \frac{7\pi}{2}
&\text\\ \end{cases} t a n − 1 ( t an x ) = ⎩ ⎨ ⎧ x + π , − 2 3 π < x < − 2 π x , − 2 π < x < 2 π x − π , 2 π < x < 2 3 π x − 2 π , 2 3 π < x < 2 5 π x − 3 π , 2 5 π < x < 2 7 π
(iv) y = c o t − 1 ( c o t x ) , x ∈ R − { n π } , y ∈ ( 0 , π ) , y = cot^{-1} (cot \ x),x \in R - \{n \ \pi\}, y \in (0, \pi), y = co t − 1 ( co t x ) , x ∈ R − { n π } , y ∈ ( 0 , π ) , π \pi π
(v) y = c o s e c − 1 ( c o s e c x ) , x ∈ R − { n π , n ∈ I } y ∈ [ − π 2 , 0 ⟯ ∪ ⟮ 0 , π 2 ] , y = cosec^{-1} (cosec \ x), x \in R - \{n \ \pi, n \in \Iota \} y \in \bigg[ -\frac{\pi}{2},0 \bigg \rgroup \cup \bigg \lgroup 0, \frac{\pi}{2} \bigg ], y = cose c − 1 ( cosec x ) , x ∈ R − { n π , n ∈ I } y ∈ [ − 2 π , 0 ⎭ ⎫ ∪ ⎩ ⎧ 0 , 2 π ] , 2 π . 2\pi. 2 π .
(vi) y = s e c − 1 ( s e c x ) , y = sec^{-1} (sec \ x), y = se c − 1 ( sec x ) , 2 π 2\pi 2 π x ∈ R − { ( 2 n − 1 ) π 2 n ∈ I } , y ∈ [ 0 , π 2 ⟯ ∪ ⟮ π 2 , π ] \space \space \space \space \space x \in R - \bigg \{(2n-1) \frac{\pi}{2} n \in \Iota \bigg \}, y \in \bigg [0, \frac{\pi}{2} \bigg \rgroup \cup \bigg \lgroup \frac{\pi}{2}, \pi \bigg] x ∈ R − { ( 2 n − 1 ) 2 π n ∈ I } , y ∈ [ 0 , 2 π ⎭ ⎫ ∪ ⎩ ⎧ 2 π , π ]
(c)
(i) c o s e c − 1 x = s i n − 1 1 x ; x ≤ − 1 o r x ≥ 1 cosec^{-1} x = sin^{-1} \dfrac{1}{x}; \space x \leq -1 \ or \ x \geq 1 cose c − 1 x = s i n − 1 x 1 ; x ≤ − 1 or x ≥ 1
(ii) s e c − 1 x = c o s − 1 1 x ; x ≤ − 1 o r x ≥ 1 sec^{-1} x = cos^{-1} \dfrac{1}{x}; \space x \leq -1 \ or \ x \geq 1 se c − 1 x = co s − 1 x 1 ; x ≤ − 1 or x ≥ 1
(iii) c o t − 1 x = t a n − 1 1 x ; x > 0 cot^{-1} x = tan^{-1} \dfrac{1}{x}; \space x > 0 co t − 1 x = t a n − 1 x 1 ; x > 0 = π + t a n − 1 1 x ; x < 0 \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space = {\pi} + tan^{-1} \dfrac{1}{x}; \space x < 0 = π + t a n − 1 x 1 ; x < 0
(d)
(i) s i n − 1 ( − x ) = − s i n − 1 x , − 1 ≤ x ≤ 1 sin^{-1}(-x) = -sin^{-1}x, -1 \leq x \leq 1 s i n − 1 ( − x ) = − s i n − 1 x , − 1 ≤ x ≤ 1
(ii) t a n − 1 ( − x ) = − t a n − 1 x , x ∈ R tan^{-1}(-x) = -tan^{-1}x, x \in R t a n − 1 ( − x ) = − t a n − 1 x , x ∈ R
(iii) c o s − 1 ( − x ) = π − c o s − 1 x , − 1 ≤ x ≤ 1 cos^{-1}(-x)= \pi - cos^{-1}x, -1 \leq x \leq 1 co s − 1 ( − x ) = π − co s − 1 x , − 1 ≤ x ≤ 1
(iv) c o t − 1 ( − x ) = π − c o t − 1 x , x ∈ R cot^{-1}(-x) = \pi - cot^{-1}x, x \in R co t − 1 ( − x ) = π − co t − 1 x , x ∈ R
(V) s e c − 1 ( − x ) = π − s e c − 1 x , x ≤ − 1 o r x ≥ 1 sec^{-1}(-x) = \pi - sec^{-1}x, x \leq -1 \ or \ x \geq 1 se c − 1 ( − x ) = π − se c − 1 x , x ≤ − 1 or x ≥ 1
(vi) c o s e c − 1 ( − x ) = − c o s e c − 1 x , x ≤ − 1 o r x ≥ 1 cosec^{-1}(-x) = -cosec^{-1}x, x \leq -1 \ or \ x \geq 1 cose c − 1 ( − x ) = − cose c − 1 x , x ≤ − 1 or x ≥ 1
(e)
(i) s i n − 1 x + c o s − 1 x = π 2 , − 1 ≤ x ≤ 1 sin^{-1}x + cos^{-1}x = \frac{\pi}{2}, -1 \leq x \leq 1 s i n − 1 x + co s − 1 x = 2 π , − 1 ≤ x ≤ 1
(ii) t a n − 1 x + c o t − 1 x − π 2 , x ∈ R tan^{-1}x + cot^{-1}x - \frac{\pi}{2}, x \in R t a n − 1 x + co t − 1 x − 2 π , x ∈ R
(iii) c o s e c − 1 x + s e c − 1 x = π 2 , ∣ x ∣ ≥ 1 cosec^{-1}x + sec^{-1}x = \frac{\pi}{2}, | x | \geq 1 cose c − 1 x + se c − 1 x = 2 π , ∣ x ∣ ≥ 1
(f)
(i) t a n − 1 x + t a n − 1 y = { t a n − 1 ( x + y 1 − x y ) , w h e r e x > 0 , y > 0 & x y < 1 π + t a n − 1 ( x + y 1 − x y ) , w h e r e x > 0 , y > 0 & x y > 1 π 2 , w h e r e x > 0 , y > 0 & x y = 1 tan^{-1}x + tan^{-1}y =
\begin{cases}
tan^{-1} \bigg(\dfrac{x+y}{1-xy}\bigg), where \ x > 0, y > 0 \ \& \ xy < 1 \\
\pi +tan^{-1}\bigg(\dfrac{x+y}{1-xy}\bigg), where \ x > 0, y > 0 \ \& \ xy > 1 \\
\frac{\pi}{2}, where \ x > 0, y > 0 \ \& \ xy = 1
&\text\\
\end{cases} t a n − 1 x + t a n − 1 y = ⎩ ⎨ ⎧ t a n − 1 ( 1 − x y x + y ) , w h ere x > 0 , y > 0 & x y < 1 π + t a n − 1 ( 1 − x y x + y ) , w h ere x > 0 , y > 0 & x y > 1 2 π , w h ere x > 0 , y > 0 & x y = 1
(ii) t a n − 1 x − t a n − 1 y = t a n − 1 ( x − y 1 + x y ) , w h e r e x > 0 , y > 0 tan^{-1}x - tan^{-1}y = tan^{-1} \bigg(\dfrac{x-y}{1+xy}\bigg), where \space x > 0, y > 0 t a n − 1 x − t a n − 1 y = t a n − 1 ( 1 + x y x − y ) , w h ere x > 0 , y > 0
(iii) s i n − 1 x + s i n − 1 y = s i n − 1 [ x 1 − y 2 + y 1 − x 2 ] , w h e r e x > 0 , y > 0 & ( x 2 + y 2 ) < 1 sin^{-1}x + sin^{-1}y = sin^{-1}[x\sqrt{{1-y}^{2}} + y \sqrt{{1-x}^{2}}],\\
\space \space \space \space \space \space where \space x > 0, \space y > 0 \ \& \ ({x}^{2} + {y}^{2}) < 1 s i n − 1 x + s i n − 1 y = s i n − 1 [ x 1 − y 2 + y 1 − x 2 ] , w h ere x > 0 , y > 0 & ( x 2 + y 2 ) < 1
\space \space \space \space \space \space x 2 + y 2 < 1 ⇒ 0 < s i n − 1 x + s i n − 1 y < π 2 {x}^{2} + {y}^{2} < 1 \rArr 0 < sin^{-1}x + sin^{-1}y < \frac{\pi}{2} x 2 + y 2 < 1 ⇒ 0 < s i n − 1 x + s i n − 1 y < 2 π
(iv) s i n − 1 x + s i n − 1 y = π − s i n − 1 [ x 1 − y 2 + y 1 − x 2 ] , w h e r e x > 0 , y > 0 & x 2 + y 2 > 1 sin^{-1}x + sin^{-1}y = \pi - sin^{-1} [x \sqrt{{1-y}^{2}} + y\sqrt{{1-x}^{2}}],\\
\space \space \space \space \space \space where \space x > 0, \space y > 0 \space \& \space {x}^{2} + {y}^{2} > 1 s i n − 1 x + s i n − 1 y = π − s i n − 1 [ x 1 − y 2 + y 1 − x 2 ] , w h ere x > 0 , y > 0 & x 2 + y 2 > 1
\space \space \space \space \space \space Note that : x 2 + y 2 > 1 ⇒ π 2 < s i n − 1 x + s i n − 1 y < π {x}^{2} + {y}^{2} > 1 \rArr \frac{\pi}{2} < sin^{-1}x + sin^{-1}y < \pi x 2 + y 2 > 1 ⇒ 2 π < s i n − 1 x + s i n − 1 y < π
(v) s i n − 1 x − s i n − 1 y = s i n − 1 [ x 1 − y 2 − y 1 − x 2 ] w h e r e x > 0 , y > 0 sin^{-1}x - sin^{-1}y = sin^{-1}[x \sqrt{{1-y}^{2}} - y \sqrt{{1-x}^{2}}] \ where \space x > 0, y > 0 s i n − 1 x − s i n − 1 y = s i n − 1 [ x 1 − y 2 − y 1 − x 2 ] w h ere x > 0 , y > 0
(vi) c o s − 1 x + c o s − 1 y = c o s − 1 [ x y − 1 − x 2 1 − y 2 ] , w h e r e x > 0 , y > 0 cos^{-1}x + cos^{-1}y = cos^{-1}[xy - \sqrt{{1-x}^{2}}
\sqrt{{1-y}^{2}}], \ where \ x > 0, y > 0 co s − 1 x + co s − 1 y = co s − 1 [ x y − 1 − x 2 1 − y 2 ] , w h ere x > 0 , y > 0
(vii) c o s − 1 x − c o s − 1 y = { c o s − 1 ( x y + 1 − x 2 1 − y 2 ) ; x < y , x , y > 0 − c o s − 1 ( x y + 1 − x 2 1 − y 2 ) ; x > y , x , y > 0 cos^{-1}x - cos^{-1}y =
\begin{cases}
cos^{-1}(xy + \sqrt{{1-x}^{2}} \sqrt{{1-y}^{2}}); x < y, x, y > 0 \\
-cos^{-1}(xy + \sqrt{{1-x}^{2}} \sqrt{{1-y}^{2}}); x > y, x, y >0
&\text\\
\end{cases} co s − 1 x − co s − 1 y = { co s − 1 ( x y + 1 − x 2 1 − y 2 ) ; x < y , x , y > 0 − co s − 1 ( x y + 1 − x 2 1 − y 2 ) ; x > y , x , y > 0
(viii) t a n − 1 x + t a n − 1 y + t a n − 1 z = t a n − 1 [ x + y + z − x y z 1 − x y − y z − z x ] i f x > 0 , y > 0 , z > 0 & x y + y z + z x < 1 tan^{-1}x + tan^{-1}y + tan^{-1} z = tan^{-1} \bigg[\dfrac{x+y+z-xyz}{1-xy-yz-zx}\bigg] \\
\space \space \space \space \space \space \space if \space x > 0, y > 0, z > 0 \space \& \space xy + yz +zx < 1 t a n − 1 x + t a n − 1 y + t a n − 1 z = t a n − 1 [ 1 − x y − yz − z x x + y + z − x yz ] i f x > 0 , y > 0 , z > 0 & x y + yz + z x < 1
Note : In the above results x & y x \space \& \space y x & y
3. Simplified Inverse Trignometric Functions: {toc#3}
\space \space \space \space \space (a) y = f ( x ) = s i n − 1 ⟮ 2 x 1 + x 2 ⟯ = { 2 t a n − 1 x if ∣ x ∣ ≤ 1 π − 2 t a n − 1 x if x > 1 − ( π + 2 t a n − 1 x if x < − 1 y = f(x) = sin^{-1} \bigg \lgroup \dfrac{2x}{1+x^{2}} \bigg \rgroup \\
\space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space
= \begin{cases}
2tan^{-1}x &\text{if } \space |x|\leq 1 \\
\pi - 2 tan^{-1}x &\text{if } \space \space x > 1 \\
-(\pi + 2 tan^{-1}x &\text{if } x < -1
\end{cases} y = f ( x ) = s i n − 1 ⎩ ⎧ 1 + x 2 2 x ⎭ ⎫ = ⎩ ⎨ ⎧ 2 t a n − 1 x π − 2 t a n − 1 x − ( π + 2 t a n − 1 x if ∣ x ∣ ≤ 1 if x > 1 if x < − 1
\space \space \space \space \space (b) y = f ( x ) = c o s − 1 ⟮ 1 − x 2 1 + x 2 ⟯ = { 2 t a n − 1 x if ∣ x ∣ ≥ 0 − 2 t a n − 1 x if x < 0 y = f(x) = cos^{-1} \bigg \lgroup \dfrac{1-x^{2}}{1+x^{2}} \bigg \rgroup \\
\space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space
= \begin{cases}
2tan^{-1}x &\text{if } \space |x| \geq 0 \\
-2 tan^{-1}x &\text{if } \space \space x < 0 \\
\end{cases} y = f ( x ) = co s − 1 ⎩ ⎧ 1 + x 2 1 − x 2 ⎭ ⎫ = { 2 t a n − 1 x − 2 t a n − 1 x if ∣ x ∣ ≥ 0 if x < 0
\space \space \space \space \space (c) y = f ( x ) = t a n − 1 2 x 1 − x 2 = { 2 t a n − 1 x if ∣ x ∣ < 1 π + 2 t a n − 1 x if x < − 1 − ( π − 2 t a n − 1 x if x > 1 y = f(x) = tan^{-1} \dfrac{2x}{1-x^{2}} \\
\space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space
= \begin{cases}
2tan^{-1}x &\text{if } \space |x| < 1 \\
\pi + 2 tan^{-1}x &\text{if } \space \space x < - 1 \\
-(\pi - 2 tan^{-1}x &\text{if } \space \space x > 1
\end{cases} y = f ( x ) = t a n − 1 1 − x 2 2 x = ⎩ ⎨ ⎧ 2 t a n − 1 x π + 2 t a n − 1 x − ( π − 2 t a n − 1 x if ∣ x ∣ < 1 if x < − 1 if x > 1
\space \space \space \space \space (d) y = f ( x ) = s i n − 1 ( 3 x − 4 x 3 ) = { − ( π + 3 s i n − 1 x ) if − 1 ≤ x ≤ − 1 2 3 s i n − 1 x if − 1 2 ≤ x ≤ 1 2 π − 3 s i n − 1 x if 1 2 ≤ x ≤ 1 y = f(x) = sin^{-1} (3x -4x^{3}) \\
\space \space \space \space \space \space \space \space \space \space
= \begin{cases}
-(\pi + 3sin^{-1}x) &\text{if } \space - 1 \leq x \leq - \frac{1}{2} \\
\space \space \space \space \space \space \space 3sin^{-1}x &\text{if } \space \space - \frac{1}{2} \leq x \leq \frac{1}{2} \\
\space \space \pi - 3sin^{-1}x &\text{if } \space \space \space \space \space \space \frac{1}{2} \leq x \leq1
\end{cases} y = f ( x ) = s i n − 1 ( 3 x − 4 x 3 ) = ⎩ ⎨ ⎧ − ( π + 3 s i n − 1 x ) 3 s i n − 1 x π − 3 s i n − 1 x if − 1 ≤ x ≤ − 2 1 if − 2 1 ≤ x ≤ 2 1 if 2 1 ≤ x ≤ 1
\space \space \space \space \space (e) y = f ( x ) = c o s − 1 ( 4 x 3 − 3 x ) = { 3 c o s − 1 x − 2 π if − 1 ≤ x ≤ − 1 2 2 π − 3 c o s − 1 x if − 1 2 ≤ x ≤ 1 2 3 c o s − 1 x if 1 2 ≤ x ≤ 1 y = f(x) = cos^{-1} (4x^{3} -3x) \\
\space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space
= \begin{cases}
3cos^{-1} x -2\pi &\text{if } \space - 1 \leq x \leq - \frac{1}{2} \\
2 \pi - 3cos^{-1}x &\text{if } \space \space - \frac{1}{2} \leq x \leq \frac{1}{2} \\
\space \space 3cos^{-1}x &\text{if } \space \space \space \space \space \space \frac{1}{2} \leq x \leq1
\end{cases} y = f ( x ) = co s − 1 ( 4 x 3 − 3 x ) = ⎩ ⎨ ⎧ 3 co s − 1 x − 2 π 2 π − 3 co s − 1 x 3 co s − 1 x if − 1 ≤ x ≤ − 2 1 if − 2 1 ≤ x ≤ 2 1 if 2 1 ≤ x ≤ 1
\space \space \space \space \space (f) s i n − 1 ( 2 x 1 − x 2 ) = { − ( π + 2 s i n − 1 x ) − 1 ≤ x ≤ − 1 2 2 s i n − 1 x − 1 2 ≤ x ≤ 1 2 π − 2 s i n − 1 x 1 2 ≤ x ≤ 1 sin^{-1} \big(2x \sqrt {1-x^{2}}\big) \\
\space \space \space \space \space \space \space \space \space \space
= \begin{cases}
-(\pi + 2 sin^{-1}x) - 1 \leq x \leq - \frac{1}{\sqrt2} \\
2sin^{-1}x \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space - \frac{1}{\sqrt2} \leq x \leq \frac{1}{\sqrt2} \\
\pi - 2sin^{-1}x \space \space \space \space \space \space \space \space \space \frac{1}{\sqrt2} \leq x \leq1
\end{cases} s i n − 1 ( 2 x 1 − x 2 ) = ⎩ ⎨ ⎧ − ( π + 2 s i n − 1 x ) − 1 ≤ x ≤ − 2 1 2 s i n − 1 x − 2 1 ≤ x ≤ 2 1 π − 2 s i n − 1 x 2 1 ≤ x ≤ 1
\space \space \space \space \space (g) c o s − 1 ( 2 x 2 − 1 ) = { 2 c o s − 1 x 0 ≤ x ≤ 1 2 π − 2 c o s − 1 x − 1 ≤ x ≤ 0 cos^{-1} (2x^{2}-1) \\
\space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space
= \begin{cases}
2 cos^{-1}x \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space 0 \leq x \leq 1 \\
2\pi - 2cos^{-1}x \space \space \space \space \space \space -1 \leq x \leq 0
\end{cases} co s − 1 ( 2 x 2 − 1 ) = { 2 co s − 1 x 0 ≤ x ≤ 1 2 π − 2 co s − 1 x − 1 ≤ x ≤ 0
R e l a t e d P a g e s : \color{red} \bold{Related \space Pages:} Related Pages : Limits Formula Sheet Function Relation Formula Sheet Vector operation Calculators Vector Formula sheet
